Ⅴ-2.5 중단원 점검하기 · 중학교 수학 3학년

A직각삼각형의 변의 길이

Right triangle · 4 problems

주제 Ⅴ-2.1

사인·코사인·탄젠트로 미지의 변을 잡는다.

Q01★

$\triangle ABC$ 에서 $\angle C = 90°$, $\angle A = 60°$, $\overline{AC} = 4$ 일 때 $\overline{BC}$ 의 길이는?

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$\tan 60° = \dfrac{BC}{AC}$ → $BC = 4 \tan 60° = 4\sqrt{3}$

Q02★

$\triangle ABC$ 에서 $\angle B = 90°$, $\angle A = 30°$, $\overline{AC} = 10$ 일 때 $\overline{AB}$ 의 길이는?

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$\cos 30° = \dfrac{AB}{AC}$ → $AB = 10\cos 30° = 10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

Q03★★

건물의 한 점에서 $100\,\text{m}$ 떨어진 지점에서 꼭대기를 올려본각이 $30°$ 였다. 건물의 높이를 구하여라. (단위 생략)

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높이 $h$ 와 거리 $100$ 의 비가 $\tan 30°$. $h = 100 \tan 30° = 100 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{100\sqrt{3}}{3}$

Q04★★

길이 $8\,\text{m}$ 인 사다리가 지면과 $60°$ 의 각을 이루며 벽에 기대어 있다. 사다리 밑끝과 벽 사이의 거리는?

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거리 $= 8\cos 60° = 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4\,\text{m}$

B일반 삼각형의 변의 길이

Non-right triangle · 4 problems

주제 Ⅴ-2.2

수선을 내려 두 직각삼각형으로 분할한다.

Q05★★

$\triangle ABC$ 에서 $a = 4$, $c = 6$, $\angle B = 60°$ 일 때 $b$ 의 길이는?

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$A$ 에서 $BC$ 에 수선 내림. $BH = 6\cos 60° = 3$, $AH = 6\sin 60° = 3\sqrt{3}$. $HC = 4 - 3 = 1$. $b^2 = AH^2 + HC^2 = 27 + 1 = 28$. $b = 2\sqrt{7}$.

Q06★★★

$\triangle ABC$ 에서 $a = 3$, $c = 5$, $\angle B = 120°$ 일 때 $b$ 의 길이는?

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$\angle B$ 가 둔각이므로 $A$ 에서 내린 수선의 발 $H$ 가 $CB$ 의 연장선 위. $\angle ABH = 60°$. $BH = 5\cos 60° = \tfrac{5}{2}$, $AH = 5\sin 60° = \tfrac{5\sqrt{3}}{2}$. $HC = BH + BC = \tfrac{5}{2} + 3 = \tfrac{11}{2}$. $b^2 = \tfrac{75}{4} + \tfrac{121}{4} = \tfrac{196}{4} = 49$. $b = 7$.

Q07★★★

$\triangle ABC$ 에서 $\angle A = 45°$, $\angle B = 60°$, $a = \sqrt{6}$ 일 때 $b$ 의 길이는?

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$\angle C = 75°$. $C$ 에서 $AB$ 에 수선 내림. 직각삼각형 $CAH$: $CH = b\sin 45° = \dfrac{b\sqrt{2}}{2}$. 직각삼각형 $CBH$: $CH = a\sin 60° = \sqrt{6}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$. 두 식을 같게 놓으면 $\dfrac{b\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$, $b = 3$.

Q08★★★

평행사변형 $ABCD$ 에서 $\overline{AB} = 4$, $\overline{AD} = 6$, $\angle A = 60°$ 일 때, 대각선 $\overline{BD}$ 의 길이는?

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$\triangle ABD$ 에서 $\overline{AB}=4, \overline{AD}=6, \angle A=60°$. $D$ 에서 $AB$ 에 수선 내림: $AH = 6\cos 60° = 3$, $DH = 6\sin 60° = 3\sqrt{3}$. $HB = 4 - 3 = 1$. $BD^2 = 27 + 1 = 28$. $BD = 2\sqrt{7}$.

C삼각형의 넓이

Triangle area · 3 problems

주제 Ⅴ-2.3

$S = \tfrac{1}{2}ab\sin C$

Q09★

$\triangle ABC$ 에서 $a = 8$, $b = 6$, $\angle C = 30°$ 일 때 넓이를 구하여라.

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$S = \tfrac{1}{2}(8)(6)\sin 30° = 24 \cdot \tfrac{1}{2} = 12$

Q10★★

$a = 10$, $b = 6$, $\angle C = 60°$ 일 때 $\triangle ABC$ 의 넓이는?

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$S = \tfrac{1}{2}(10)(6)\sin 60° = 30 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$

Q11★★

$a = 4$, $b = 8$, $\angle C = 135°$ 일 때 $\triangle ABC$ 의 넓이는?

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$\sin 135° = \sin 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$. $S = \tfrac{1}{2}(4)(8)\tfrac{\sqrt{2}}{2} = 16 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$.

D사각형의 넓이

Quadrilateral area · 4 problems

주제 Ⅴ-2.4

평행사변형 $S = ab\sin C$ / 대각선 공식 $S = \tfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$ / 사다리꼴 분할

Q12★★

평행사변형의 이웃한 두 변이 $6, 8$ 이고 사잇각이 $60°$ 일 때 넓이를 구하여라.

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$S = (6)(8)\sin 60° = 48 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$

Q13★★

평행사변형의 두 변이 $10, 4$ 이고 한 내각이 $150°$ 일 때 넓이를 구하여라.

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$\sin 150° = \sin 30° = \tfrac{1}{2}$. $S = (10)(4)\tfrac{1}{2} = 20$.

Q14★★

사각형의 두 대각선이 각각 $10, 6$ 이고 이들이 이루는 각이 $60°$ 일 때 넓이를 구하여라.

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$S = \tfrac{1}{2}(10)(6)\sin 60° = 30 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$

Q15★★★

사다리꼴 $ABCD$ 에서 $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$, $\overline{AB} = 10$, $\overline{DC} = 6$, 한 빗변 $\overline{AD} = 4$, $\angle A = 60°$ 일 때 넓이는?

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높이 $h = 4\sin 60° = 2\sqrt{3}$. $S = \tfrac{1}{2}(10+6)(2\sqrt{3}) = 8 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$.

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